きっかけは、電車内の広告。
城南予備校の広告。
「円周率は3.05より大きいことを証明せよ」
東大の入試問題とのこと。
その場で少し考えてみたが、わかるわけがなかった。
証明って、なつかしい。
中学のころ、三角形の合同条件なんてやった記憶がある。
二辺挟角という言葉が、頭に浮かんだ。
妙に記憶に焼きついている言葉だ。
三辺、二辺挟角、一辺両端角。（今調べた）
冒頭の問題を解くカギ。
円に内接する正多角形の辺の長さを元に考えること。
ここまでは、想像できた。
でもその先は、わからない。
城南予備校のサイトで解答を確認。
最初、正直よくわからなかった。
紆余曲折の末、理解できた。
ポイントは、「三角関数の半角公式」。
公式を覚えていないと解けない。
これは、高校時代に覚えさせられた公式だ。
基礎解析。
数学は得意だったが、一度だけ赤点をとったことがある。
三角関数の公式を大量に覚えていないと得点できなかった試験だったと思う。
たぶん、この半角公式も入っていただろう。
覚えさせられたと言いつつ、実はこの公式を覚えた記憶がない。
数学は暗記ではない、という思い込みがあった。
こんなものは暗記しなくても、その場で考えればわかるはず！
そして、結果は赤点だった。
挫折だった。
数学の公式をここに記すのは、なかなか困難なことだ。
特殊な記号やら、小さい文字を表現する必要があるから。
仕方ないのでCADで書いてみた。（半角公式のうち1つだけ）
この公式の使い方。
円に内接する正八角形の一辺の長さを求めるとき。
文字で表すのは困難なので、やはりCADで書いてみた。
α＝360／8＝45
半径を1とすれば、
一辺の長さ＝sin ( 22.5 ) × 2 となる。
sin( 22.5 ) がいくつなのか？
半角公式に以下の値を代入すればよい。
cos ( 45 ) ＝ 1 ／ √2 （←三平方の定理で解ける）
√2 ＝ 1.41421356… （←ひとよひとよにひとみごろ、2乗して比較すれば明らかだそうだ）
これで正八角形の回りの長さが求められる。
答えは、6.122935…
ところで、
円周率＝円周／直径 で、
今は半径を1としているから、
円周率＝円周／2 となる。
円周は「正八角形の回りの長さ」よりも長いので、
円周率＞6.122935／2
円周率＞3.06146．．．
円周率は、3.05より大きいことが証明された。
この記事を書くのに、けっこうな時間を費やしてしまった。
ブログで数学関係の記事を書くのは、
つらいということがよぉくわかった。