きっかけは、電車内の広告。
城南予備校の広告。
「円周率は3.05より大きいことを証明せよ」
東大の入試問題とのこと。
その場で少し考えてみたが、わかるわけがなかった。
証明って、なつかしい。
中学のころ、三角形の合同条件なんてやった記憶がある。
二辺挟角という言葉が、頭に浮かんだ。
妙に記憶に焼きついている言葉だ。
三辺、二辺挟角、一辺両端角。（今調べた）
冒頭の問題を解くカギ。
円に内接する正多角形の辺の長さを元に考えること。
ここまでは、想像できた。
でもその先は、わからない。
城南予備校のサイトで解答を確認。
最初、正直よくわからなかった。
紆余曲折の末、理解できた。
ポイントは、「三角関数の半角公式」。
公式を覚えていないと解けない。
これは、高校時代に覚えさせられた公式だ。
基礎解析。
数学は得意だったが、一度だけ赤点をとったことがある。
三角関数の公式を大量に覚えていないと得点できなかった試験だったと思う。
たぶん、この半角公式も入っていただろう。
覚えさせられたと言いつつ、実はこの公式を覚えた記憶がない。
数学は暗記ではない、という思い込みがあった。
こんなものは暗記しなくても、その場で考えればわかるはず！
そして、結果は赤点だった。
挫折だった。
数学の公式をここに記すのは、なかなか困難なことだ。
特殊な記号やら、小さい文字を表現する必要があるから。
仕方ないのでCADで書いてみた。（半角公式のうち1つだけ）
この公式の使い方。
円に内接する正八角形の一辺の長さを求めるとき。
文字で表すのは困難なので、やはりCADで書いてみた。
α＝360／8＝45
半径を1とすれば、
一辺の長さ＝sin ( 22.5 ) × 2 となる。
sin( 22.5 ) がいくつなのか？
半角公式に以下の値を代入すればよい。
cos ( 45 ) ＝ 1 ／ √2 （←三平方の定理で解ける）
√2 ＝ 1.41421356… （←ひとよひとよにひとみごろ、2乗して比較すれば明らかだそうだ）
これで正八角形の回りの長さが求められる。
答えは、6.122935…
ところで、
円周率＝円周／直径 で、
今は半径を1としているから、
円周率＝円周／2 となる。
円周は「正八角形の回りの長さ」よりも長いので、
円周率＞6.122935／2
円周率＞3.06146．．．
円周率は、3.05より大きいことが証明された。
この記事を書くのに、けっこうな時間を費やしてしまった。
ブログで数学関係の記事を書くのは、
つらいということがよぉくわかった。
はじめまして。ＣＡＤに興味があり、いろいろ検索していて、ここにたどり着きました♪
円周率の証明・・・じっくり読ませていただきました・・が、やはり脳みそは錆びつつあるのか、理解するまでにも、えらい時間が・・(´・ω・｀)
ときときお邪魔させてくださーい！！
ふねふねさん、こんにちは。
脳はどんどん老化しますからね。
10代の頃のようにはいきません。
この記事、かなりの決意をして長時間を要して書き上げました。
途中で後悔し始めましたが、途中で投げ出すのもなんだな
と思い、がんばってみた次第です。
これからもいろいろと興味を持っていけたらと思います。
また、どうぞ訪問ください。
コメントありがとうございました。
私も電車の広告見ました
円周率の証明！？
はて？
長いこと長考しましたがπ＝３，１４これは誰もが知ってることですが証明となると‥
ほろ酔い加減がすっ飛び、う～んどうやるんだっけな～って感じで帰宅まで考えながら帰ってきました
さすがに３０半ばになると頭腐ってました
そこで、調べてみたらここにたどり着けました
なるほど‥
これでよく寝れそうです
ありがとうございました＾－＾
ツカンポさん、こんにちは。
安眠に役立ちましたようで。
よかったです。
この記事、異常に閲覧数が多くてびっくりしてます。
他の記事は50くらいのところ、なんと500を超えそうです。
私も含めて、みなさん興味のあるってぇことですな。
正12角形なら加法定理のみの知識でOK（面積利用）
3以上なら正6角形利用（正三角形×6）で小学生でも解ける（円周利用）
加法定理ということは、
sin( A – B ) = sin A cos B – cos A sin B .
A = 45, B = 30 かな？
sin 30 や cos 30はどうやって証明するのだろう。
1：2：√3 という暗記から値はわかりますけど。
面積利用というはわかりませんが。
産医師異国に向こう産後厄無く．．．
3.1 4 1 592 6 5 3 5 897 9．．．
興味深い覚え方ですね。
僕は電車に乗る機会がないので、広告みれませんが……。
なんだか懐かしい問題ですね！
円周率を証明するやり方に正多角形をを内接させたのと外接させたので、正多角形の何角あるのかを変数のｎとNと(大小で外接と内接分けた)て正だから一辺の長さはおなじなわけで「ｎ×一辺の長さ＜２πｒ＜N×一辺の長さ」で証明しようと考えてみましたが……。
CAD日記さんの仰るようにここで書くのはすごく億劫なので、いつかすんごい待たされて暇なときにでも、上の方法でといてみようかと思います。
たまには考えないと・・・僕のは赤錆出てきてるみたいだし！
なんかちょっと面白かった。
あっ全然話変わりますが、ホームページ作ったのでよければ見にいらしてくださーい！(名前をクリックでいけますよっ)
ずしさん、こんにちは。
CADに関わっていると数学的な話に興味があったりしますよね。
高校レベルの数学的知識が役に立ちますから。
普通の人は、大人になるとなかなか接する機会がないですが。
ホームページ拝見させていただきました。
自己紹介ページが大変興味深かったです。
様々な職種、職歴があるようで。
営業経験があるというのは、何かと強いですよ。
着想はすぐ分かりましたが、式を立てて追ってゆくのは
感心します。とくに三角関数の定理を使うのはうまいですね。
これからもよい記事を書いてください。
shinsfさん、こんにちは。
CADのプログラマーをやっていると三角関数からは離れられないのです。CADの図面は円や円弧がよく使われるから。
それから、数式をWebなどで分かりやすく表現するのは一苦労です。OpenOfficeやMS Officeには、Math何とかという便利なツールがあるようですが、使いこなすには時間を必要とするでしょう。
shisfさんのブログを拝見しました。数学の専門用語や数式が多く、私には8割型理解不能でした。残念無念！